مسرد الرياضيات

كثيرة حدود من حد واحد.

مثال: $-4x^3y$

أشكال لها الزوايا نفسها وأضلاعها جميعًا بالنسبة نفسها: أحدها تكبير للآخر.

العدد الصغير المرفوع في القوة: يبين عدد مرات ضرب الأساس في نفسه. ويُسمى أيضًا القوة.

مثال: $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$

حاسبة الأسس

في القوة $a^n$ العدد $a$ الذي يُضرب في نفسه. وهو أيضًا الضلع السفلي للشكل المستخدم في حساب المساحة (القاعدة).

مثال: في $2^5$ الأساس هو 2.

حاسبة الأسس

زوج من الأعداد $(x, y)$ يحدد موقع نقطة: أفقيًا أولًا ثم رأسيًا.

حاسبة المسافة ونقطة المنتصف

مدى ترجيح وقوع حدث، من 0 (مستحيل) إلى 1 (مؤكد). مع النتائج المتساوية الاحتمال يساوي $\frac{\text{favourable}}{\text{total}}$.

مثال: ظهور 6 عند رمي حجر نرد عادل: $\frac{1}{6}$.

حاسبة الاحتمالات

كلمة أخرى للميل: مدى انحدار المستقيم.

الميل ومعادلة المستقيم

مقياس لمدى تشتت البيانات حول الوسط: الجذر التربيعي للتباين.

حاسبة الانحراف المعياري

العدد العلوي في الكسر: عدد الأجزاء المأخوذة.

مثال: في $\frac{3}{8}$ البسط هو 3.

الكسور

ترتيب عناصر يهم فيه الترتيب: $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$.

مثال: ترتيب شخصين من 4 بالترتيب: $P(4, 2) = 12$.

حاسبة التباديل والتوافيق

كتابة التعبير بصورة أقصر ومكافئة: جمع الحدود المتشابهة، واختصار العوامل المشتركة وغير ذلك.

تبسيط العبارات

كتابة التعبير على صورة حاصل ضرب تعابير أبسط.

مثال: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

تحليل كثيرات الحدود · حاسبة التحليل إلى عوامل

كتابة العدد على صورة حاصل ضرب أعداد أولية.

مثال: $60 = 2^2 \times 3 \times 5$

حاسبة التحليل إلى عوامل أولية

أعداد ومتغيرات وعمليات مجتمعة، بلا علامة يساوي.

تبسيط العبارات

عكس المشتقة، أو المساحة تحت المنحنى. $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ عندما $n \ne -1$.

حاسبة التكاملات

عبارة تنص على أن نسبتين متساويتان.

مثال: $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$

النسب والتناسب

اختيار عناصر لا يهم فيه الترتيب: $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$.

مثال: اختيار شخصين من 4: $\binom{4}{2} = 6$ طرق.

حاسبة التباديل والتوافيق

قيمة لا تتغير، مثل عدد منفرد في عبارة.

مثال: في $4x + 9$ الثابت هو 9.

قيمة للمتغير تجعل المعادلة صحيحة؛ وفي $f(x) = 0$ هي موضع قطع الرسم البياني لمحور $x$.

مثال: جذرا $x^2 - 9 = 0$ هما $x = 3$ و$x = -3$.

ما الحل في الرياضيات؟

عدد إذا ضُرب في نفسه أعطى العدد الأصلي. ويعني $\sqrt{a}$ الجذر غير السالب.

مثال: $\sqrt{49} = 7$

الجذور التربيعية · حاسبة الجذر التربيعي

العدد الذي إذا ضُرب في نفسه ثلاث مرات أعطى العدد الأصلي.

مثال: $\sqrt[3]{64} = 4$ لأن $4^3 = 64$.

في المثلث القائم، الضلع المقابل مقسومًا على الوتر: $\sin\theta = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}}$.

أساسيات حساب المثلثات · حاسبة حساب المثلثات

مقدار الحيز الذي يشغله المجسم، ويُقاس بالوحدات المكعبة.

مثال: الأسطوانة: $V = \pi r^2 h$.

المجسمات · حاسبة الحجم

جزء واحد من التعبير يفصله عن غيره علامة $+$ أو $-$. وهو أيضًا كل عدد في متتالية.

مثال: $4x^2 - 3x + 1$ فيها ثلاثة حدود.

حدود لها المتغيرات والأسس نفسها تمامًا، لذا يمكن جمعها.

مثال: $3x^2$ و$-5x^2$ حدان متشابهان: مجموعهما $-2x^2$.

تبسيط العبارات

قاعدة تعطي ناتجًا واحدًا بالضبط لكل مدخل.

مثال: $f(x) = 2x + 3$ تعطي $f(4) = 11$.

الدوال · حاسبة الدوال

أعلى قوة للمتغير في كثيرة الحدود.

مثال: $4x^3 - x + 1$ من الدرجة 3.

كثيرات الحدود

عدد الانحرافات المعيارية التي تبعدها القيمة عن الوسط: $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$.

أساسيات الإحصاء

نقطة زاوية تلتقي فيها خطوط أو حواف؛ وفي القطع المكافئ هي نقطة الانعطاف.

مثال: رأس $y = (x - 2)^2 + 1$ هو $(2, 1)$.

وحدة لقياس الزوايا: الزاوية التي يصنعها قوس طوله يساوي نصف القطر. $\pi$ راديان $= 180^\circ$.

محوّل الدرجات والراديان

إحدى المناطق الأربع التي يقسم إليها المحوران $x$ و$y$ المستوى، مرقمة من I إلى IV عكس عقارب الساعة بدءًا من أعلى اليمين.

قيم تقسم البيانات المرتبة إلى أربعة أجزاء متساوية: $Q_1$ (الأدنى) و$Q_2$ (الوسيط) و$Q_3$ (الأعلى).

حاسبة الربيعيات

مضلع له أربعة أضلاع. مجموع زواياه $360^\circ$.

المضلعات والأشكال الرباعية

كتابة العدد على الصورة $a \times 10^n$ حيث $1 \le |a| < 10$ و$n$ عدد صحيح.

مثال: $45\,000 = 4.5 \times 10^4$

محوّل الصيغة العلمية

في المثلث القائم، الضلع المقابل مقسومًا على الضلع المجاور: $\tan\theta = \frac{\text{opp}}{\text{adj}}$.

أساسيات حساب المثلثات

عدد أو تعبير يقسم آخر قسمة تامة.

مثال: قواسم 12 هي 1 و2 و3 و4 و6 و12.

حاسبة القواسم

كسر بسطه ومقامه كثيرتا حدود.

مثال: $\frac{x + 1}{x^2 - 4}$

العبارات النسبية · حاسبة العبارات النسبية

عدد صحيح أكبر من 1 ليس له قواسم إلا 1 ونفسه.

مثال: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …

العوامل الأولية والقاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر

عدد بلا كسور يمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا أو صفرًا.

مثال: $-3, 0, 12$

عدد للعد: 1، 2، 3، … (بعض الكتب تضم الصفر).

عدد يُكتب بفاصلة عشرية، والأرقام بعد الفاصلة أعشار وأجزاء من مئة وهكذا.

مثال: $0.75 = \frac{3}{4}$

محوّل العدد العشري إلى كسر

عدد بلا جزء كسري: 0، 1، 2، 3، …

عدد يمكن كتابته على الصورة $\frac{a}{b}$ حيث $a$ و$b \ne 0$ عددان صحيحان.

مثال: $0.25 = \frac{1}{4}$ و$-3 = \frac{-3}{1}$

مال يُدفع مقابل الاقتراض أو يُكسب من الادخار. الفائدة البسيطة $I = Prt$؛ والفائدة المركبة تضيف الفائدة إلى الرصيد في كل فترة.

حاسبة الفائدة

أكبر عدد صحيح يقسم عددين أو أكثر قسمة تامة.

مثال: $\gcd(12, 18) = 6$

العوامل الأولية والقاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر · حاسبة ق.م.أ وم.م.أ

قطعة مستقيمة تمر بمركز الدائرة من جانب إلى آخر؛ ضعف نصف القطر.

حاسبة الدائرة

الرسم البياني على شكل حرف U لدالة تربيعية $y = ax^2 + bx + c$.

كيف ترسم معادلة

بُعد العدد عن الصفر على خط الأعداد، لذا لا تكون سالبة أبدًا. تُكتب بين خطين رأسيين.

مثال: $|-7| = 7$ و$|7| = 7$.

حاسبة القيمة المطلقة

جزء من كل، يُكتب عددًا فوق عدد: $\frac{a}{b}$.

الكسور · حاسبة الكسور

الأس الذي يجب رفع الأساس إليه للحصول على عدد: $\log_b a = c$ تعني $b^c = a$.

مثال: $\log_2 8 = 3$ لأن $2^3 = 8$.

حاسبة اللوغاريتمات

عبارة تنص على أن قيمة أصغر من ($<$) أو أكبر من ($>$) أو على الأكثر ($\le$) أو على الأقل ($\ge$) قيمة أخرى.

مثال: $2x - 1 > 5$ تعطي $x > 3$.

حل المتباينات · حاسبة المتباينات

كمية لها مقدار واتجاه معًا.

مثال: $\vec{v} = (3, 4)$ مقداره $5$.

حاسبة المتجهات

معادلة صحيحة لكل قيمة للمتغير.

مثال: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

حاسبة المتطابقات المثلثية

حرف يمثل عددًا يمكن أن يتغير أو يكون مجهولًا.

مثال: في $y = 2x + 1$، $x$ و$y$ متغيران.

أوجد x

قيمة واحدة تمثل مجموعة بيانات. يُقصد بها عادةً الوسط الحسابي، لكن الوسيط والمنوال متوسطات أيضًا.

المتوسطات والتشتت

جميع قيم المدخلات التي يُسمح للدالة بأخذها.

مثال: مجال $\sqrt{x}$ هو $x \ge 0$.

الدوال

عدد يُحسب من مصفوفة مربعة. للمصفوفة $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ هو $ad - bc$؛ ولا يكون للمصفوفة معكوس إلا إذا لم يكن صفرًا.

كيف تحسب المحدِّد · حاسبة المحدِّد

المسافة الكلية حول حافة الشكل الخارجية.

مثال: مستطيل 5 في 3 محيطه $2(5 + 3) = 16$.

أكبر قيمة ناقص أصغر قيمة في مجموعة البيانات.

مثال: البيانات 4 و9 و2 و7: المدى $= 9 - 2 = 7$.

المتوسطات والتشتت

جميع قيم المخرجات التي يمكن أن تنتجها الدالة.

مثال: مدى $x^2$ هو $y \ge 0$.

الدوال

مقدار السطح المستوي الذي يغطيه الشكل، ويُقاس بالوحدات المربعة.

مثال: مستطيل أبعاده 5 سم في 3 سم مساحته $5 \times 3 = 15\text{ cm}^2$.

مساحات الأشكال الشائعة · حاسبة المساحة

معدل تغير الدالة، أو ميل رسمها البياني عند نقطة. مشتقة $x^n$ هي $nx^{n-1}$.

مثال: مشتقة $x^3$ هي $3x^2$.

المشتقات وقاعدة القوة · حاسبة المشتقات

شبكة مستطيلة من الأعداد مرتبة في صفوف وأعمدة.

حاسبة المحدِّد

المصفوفة $A^{-1}$ التي إذا ضُربت في $A$ أعطت مصفوفة الوحدة. ولا توجد إلا إذا كان $\det A \ne 0$.

حاسبة المصفوفة العكسية

ناتج ضرب عدد في عدد صحيح.

مثال: مضاعفات 6: 6، 12، 18، 24، …

أصغر عدد موجب يكون مضاعفًا لعددين أو أكثر.

مثال: $\operatorname{lcm}(4, 6) = 12$

العوامل الأولية والقاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر · حاسبة ق.م.أ وم.م.أ

حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة من 1 إلى $n$، ويُكتب $n!$. وبالتعريف $0! = 1$.

مثال: $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

حاسبة التباديل والتوافيق

شكل مستوٍ مغلق مكون من أضلاع مستقيمة.

مثال: المثلثات والأشكال الرباعية والسداسية مضلعات؛ أما الدائرة فليست مضلعًا.

المضلعات والأشكال الرباعية

معادلتان أو أكثر يجب أن تتحقق معًا في الوقت نفسه؛ وتُسمى أيضًا نظام معادلات.

مثال: $x + y = 5$ و$x - y = 1$ تعطيان $x = 3$، $y = 2$.

أنظمة المعادلات · حلّال أنظمة المعادلات

عبارة تنص على أن تعبيرين متساويان، ويربط بينهما علامة يساوي.

مثال: $2x + 1 = 9$

المعادلات

معادلة على الصورة $ax^2 + bx + c = 0$ حيث $a \ne 0$. الحلول: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

المعادلات التربيعية · حلّال المعادلات التربيعية

العدد الذي يُضرب في المتغير داخل الحد.

مثال: في $7x^2$ المعامل هو 7.

كثيرات الحدود

العدد السفلي في الكسر: عدد الأجزاء المتساوية التي قُسم إليها الكل.

مثال: في $\frac{3}{8}$ المقام هو 8.

الكسور

مقام مشترك يسمح بجمع الكسور أو مقارنتها. أصغره هو المضاعف المشترك الأصغر للمقامات.

مثال: $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$

الكسور

1 مقسومًا على العدد؛ تحصل عليه بقلب الكسر.

مثال: مقلوب $\frac{2}{5}$ هو $\frac{5}{2}$.

الكسور

للمعادلة $ax^2 + bx + c = 0$ القيمة $b^2 - 4ac$. موجب: جذران حقيقيان؛ صفر: جذر واحد؛ سالب: لا جذور حقيقية.

المعادلات التربيعية · حلّال المعادلات التربيعية

القيمة الأكثر تكرارًا في مجموعة البيانات. قد يكون هناك أكثر من منوال.

حاسبة الوسط والوسيط والمنوال

مدى انحدار المستقيم: التغير الرأسي على التغير الأفقي، $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

مثال: من $(1, 2)$ إلى $(3, 8)$: $m = \frac{6}{2} = 3$.

الميل ومعادلة المستقيم · حاسبة الميل

مقارنة بين كميتين، تُكتب $a : b$.

مثال: 6 أولاد و4 بنات: $6 : 4 = 3 : 2$.

النسب والتناسب · حاسبة النسب

عدد من 100. $p\%$ تعني $\frac{p}{100}$.

مثال: $20\%$ من 50 هي $0.2 \times 50 = 10$.

كيف تحسب النسب المئوية · حاسبة النسبة المئوية

أطول أضلاع المثلث القائم، ويقابل الزاوية القائمة.

نظرية فيثاغورس · حاسبة نظرية فيثاغورس

مجموع القيم مقسومًا على عددها.

مثال: الوسط الحسابي لـ 2 و4 و9 هو $\frac{15}{3} = 5$.

المتوسطات والتشتت · حاسبة الوسط والوسيط والمنوال

القيمة الوسطى عندما تكون البيانات مرتبة؛ وإذا كان عددها زوجيًا فهو متوسط القيمتين الوسطيين.

مثال: وسيط 3 و8 و1 و6 هو $\frac{3 + 6}{2} = 4.5$.

حاسبة الوسط والوسيط والمنوال

نسبة محيط أي دائرة إلى قطرها، وتساوي نحو 3.14159. وهو عدد غير نسبي.

حاسبة الدائرة

الترتيب المتفق عليه لإجراء الحسابات: الأقواس، ثم القوى، ثم الضرب والقسمة (من اليسار إلى اليمين)، ثم الجمع والطرح (من اليسار إلى اليمين). يُعرف باسم BIDMAS أو BODMAS أو PEMDAS.

مثال: $2 + 3 \times 4 = 14$، وليس 20.

حاسبة بسيطة

جذر لا يمكن تبسيطه إلى عدد صحيح أو كسر.

مثال: $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

كيف تبسط الجذور

في المثلث القائم، الضلع المجاور مقسومًا على الوتر: $\cos\theta = \frac{\text{adj}}{\text{hyp}}$.

أساسيات حساب المثلثات

كثيرة حدود تتكون من حدين بالضبط.

مثال: $x + 3$ و$2a^2 - 5b$ حدانيتان.

كثيرات الحدود

مستقيم يقترب منه الرسم البياني أكثر فأكثر دون أن يصل إليه مع ازدياد $x$ أو $y$.

مثال: الدالة $y = \frac{1}{x}$ لها خطا تقارب هما $x = 0$ و$y = 0$.

العبارات النسبية

دالة تُطبَّق على ناتج دالة أخرى: $f(g(x))$ تعني تطبيق $g$ أولًا ثم $f$.

مثال: إذا كانت $f(x) = x^2$ و$g(x) = x + 1$ فإن $f(g(x)) = (x+1)^2$.

الدوال

مقدار الدوران بين شعاعين يلتقيان في نقطة (الرأس)، ويُقاس بالدرجات أو الراديان.

محوّل الدرجات والراديان

زاوية أكبر من $0^\circ$ وأصغر من $90^\circ$.

مثال: كل زاوية في المثلث المتساوي الأضلاع، $60^\circ$، حادة.

أنواع المثلثات

زاوية قياسها $90^\circ$ بالضبط، وغالبًا ما تُعلَّم بمربع صغير.

زاوية أكبر من $90^\circ$ وأصغر من $180^\circ$.

زاويتان مجموعهما $90^\circ$.

مثال: $35^\circ$ و$55^\circ$ متتامتان.

زاويتان مجموعهما $180^\circ$.

مثال: $110^\circ$ و$70^\circ$ متكاملتان.

شكل رباعي له زوج واحد من الأضلاع المتوازية. المساحة $= \frac{1}{2}(a + b)h$.

مساحة شبه المنحرف

معادلة المستقيم مكتوبة على الصورة $y = mx + b$: الميل $m$، والمستقيم يقطع محور $y$ عند $b$.

الميل ومعادلة المستقيم

تركيب من أعداد وحروف (متغيرات) وعمليات، بلا علامة يساوي.

مثال: $3x^2 - 5x + 2$

تبسيط العبارات

عدد لا يمكن كتابته على صورة كسر من عددين صحيحين؛ صورته العشرية لا تنتهي ولا تتكرر.

مثال: $\sqrt{2}$ و$\pi$

الجذور التربيعية

عدد صحيح وكسر حقيقي مكتوبان معًا.

مثال: $3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$

الكسور

عدد صحيح أكبر من 1 له قاسم غير 1 وغير نفسه.

مثال: 12 عدد مؤلف: $12 = 2^2 \times 3$.

حاسبة التحليل إلى عوامل أولية

تعبير مكون من حدود فيها قوى صحيحة للمتغير، مجموعة أو مطروحة.

مثال: $2x^3 - x + 7$

كثيرات الحدود · حاسبة كثيرات الحدود

كسر بسطه أكبر من مقامه أو يساويه.

مثال: $\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$

الكسور

قائمة أعداد يُضاف فيها المقدار نفسه (الأساس أو الفرق المشترك) في كل مرة. الحد رقم $n$ هو $a + (n-1)d$.

مثال: $3, 7, 11, 15, \ldots$ فرقها المشترك $d = 4$.

قائمة أعداد كل حد فيها هو الحد السابق مضروبًا في العدد نفسه (الأساس أو النسبة المشتركة). الحد رقم $n$ هو $ar^{n-1}$.

مثال: $2, 6, 18, 54, \ldots$ نسبتها المشتركة $r = 3$.

متجه طوله 1، ونحصل عليه بقسمة المتجه على طوله.

حاسبة متجه الوحدة

مثلث أضلاعه الثلاثة متساوية وزواياه الثلاث $60^\circ$.

أنواع المثلثات

مثلث فيه ضلعان متساويان، والزاويتان المقابلتان لهما متساويتان أيضًا.

أنواع المثلثات

مستقيم يقسم الشكل أو الرسم إلى نصفين متطابقين كالمرآة. للدالة $y = ax^2 + bx + c$ هو $x = -\frac{b}{2a}$.

المعادلات التربيعية

المسافة حول الدائرة: $C = 2\pi r$، حيث $r$ نصف القطر.

مثال: دائرة نصف قطرها 5 سم محيطها $C = 10\pi \approx 31.4$ سم.

حاسبة الدائرة

المساحة الكلية لجميع أوجه المجسم أو أسطحه المنحنية.

مثال: مكعب طول حرفه 2 مساحة سطحه $6 \times 2^2 = 24$.

حاسبة مساحة السطح

مستقيمات تلتقي بزاوية قائمة. حاصل ضرب ميليهما $-1$ (ما لم يكن أحدهما رأسيًا).

الميل ومعادلة المستقيم

مستقيمات لا تلتقي أبدًا. المستقيمات المتوازية لها الميل نفسه.

الميل ومعادلة المستقيم

معادلة يكون فيها أس المتغير 1. رسمها البياني خط مستقيم.

مثال: $5x - 2 = 13$ تعطي $x = 3$.

حل المعادلات الخطية · حلّال المعادلات الخطية

نتيجة عملية القسمة.

مثال: في $20 \div 4 = 5$ ناتج القسمة هو 5.

المسافة من مركز الدائرة إلى حافتها؛ نصف القطر الكامل.

حاسبة الدائرة

في المثلث القائم $a^2 + b^2 = c^2$، حيث $c$ هو الوتر.

مثال: ضلعا القائمة 3 و4 يعطيان وترًا طوله $\sqrt{9 + 16} = 5$.

نظرية فيثاغورس · حاسبة نظرية فيثاغورس

موضع قطع الرسم البياني لأحد المحورين. المستقيم $y = mx + c$ يقطع محور $y$ عند $c$.

الميل ومعادلة المستقيم

النقطة الواقعة في منتصف المسافة بين نقطتين: $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$.

حاسبة المسافة ونقطة المنتصف