Kamusi ya hisabati

Thamani iko umbali wa mikengeuko sanifu mingapi kutoka wastani: $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$.

Misingi ya takwimu

Namba kati ya 100. $p\%$ maana yake $\frac{p}{100}$.

Mfano: $20\%$ ya 50 ni $0.2 \times 50 = 10$.

Jinsi ya kukokotoa asilimia · Kikokotoo cha asilimia

Mstari ambao grafu inaukaribia zaidi na zaidi lakini haiufikii kadiri $x$ au $y$ inavyokuwa kubwa.

Mfano: $y = \frac{1}{x}$ ina asimptoti $x = 0$ na $y = 0$.

Semi za kisehemu

Polinomia yenye vipengele viwili hasa.

Mfano: $x + 3$ na $2a^2 - 5b$ ni binomia.

Polinomia

Kipeo kikubwa zaidi cha kigeu katika polinomia.

Mfano: $4x^3 - x + 1$ ina daraja 3.

Polinomia

Kiwango cha mabadiliko cha fomula, au mwinuko wa grafu yake kwenye nukta fulani. Kwa $x^n$ ni $nx^{n-1}$.

Mfano: Derivative ya $x^3$ ni $3x^2$.

Derivative na kanuni ya kipeo · Kikokotoo cha derivative

Namba iliyoandikwa kwa kituo cha desimali, ambapo tarakimu baada ya kituo ni sehemu za kumi, za mia na kadhalika.

Mfano: $0.75 = \frac{3}{4}$

Kibadilishaji cha desimali kuwa sehemu

Namba inayokokotolewa kutoka matriki ya mraba. Kwa $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ ni $ad - bc$; matriki ina kinyume tu ikiwa si 0.

Jinsi ya kupata diterminanti · Kikokotoo cha diterminanti

Kiasi cha uso bapa kinachofunikwa na umbo, hupimwa kwa vipimo vya mraba.

Mfano: Mstatili wa cm 5 kwa cm 3 una eneo la $5 \times 3 = 15\text{ cm}^2$.

Eneo la maumbo ya kawaida · Kikokotoo cha eneo

Eneo lote la nyuso zote au nyuso zilizopinda za umbo la 3D.

Mfano: Mchemraba wenye upande 2 una eneo la uso $6 \times 2^2 = 24$.

Kikokotoo cha eneo la uso

Zao la namba nzima zote kuanzia 1 hadi $n$, huandikwa $n!$. Kwa ufafanuzi $0! = 1$.

Mfano: $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

Kikokotoo cha vibali na michanganyiko

Kanuni inayotoa matokeo moja hasa kwa kila kinachoingizwa.

Mfano: $f(x) = 2x + 3$ inatoa $f(4) = 11$.

Fomula (fankshani) · Kikokotoo cha fomula

Fomula inayotumika juu ya matokeo ya fomula nyingine: $f(g(x))$ maana yake fanya $g$ kwanza, kisha $f$.

Mfano: Kama $f(x) = x^2$ na $g(x) = x + 1$, basi $f(g(x)) = (x+1)^2$.

Fomula (fankshani)

Upande mrefu zaidi wa pembetatu mraba, mkabala na pembe mraba.

Nadharia ya Pythagoras · Kikokotoo cha nadharia ya Pythagoras

Matokeo ya kugawanya.

Mfano: Katika $20 \div 4 = 5$, hisa ni 5.

Kinyume cha derivative, au eneo chini ya mkunjo. $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ kwa $n \ne -1$.

Kikokotoo cha integrali

Thamani ya katikati data ikipangwa; idadi ikiwa shufwa, wastani wa thamani mbili za katikati.

Mfano: Kati ya 3, 8, 1, 6 ni $\frac{3 + 6}{2} = 4.5$.

Kikokotoo cha wastani, kati na modi

Namba ya juu ya sehemu: sehemu ngapi zimechukuliwa.

Mfano: Katika $\frac{3}{8}$, kiasi ni 3.

Sehemu

Namba ya chini ya sehemu: kizima kimegawanywa katika sehemu ngapi sawa.

Mfano: Katika $\frac{3}{8}$, kiasili ni 8.

Sehemu

Kiasili kinachoshirikiwa ili sehemu ziweze kujumlishwa au kulinganishwa. Kidogo zaidi ni KDS ya viasili.

Mfano: $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$

Sehemu

Kwa $ax^2 + bx + c = 0$, thamani $b^2 - 4ac$. Chanya: vipeuo viwili halisi; sifuri: kimoja; hasi: hakuna halisi.

Milinganyo ya kipeo cha pili · Kitatuzi cha milinganyo ya kipeo cha pili

Matokeo ya kuzidisha namba kwa namba nzima.

Mfano: Vigawe vya 6: 6, 12, 18, 24, …

Namba chanya ndogo zaidi iliyo kigawe cha namba mbili au zaidi.

Mfano: $\operatorname{lcm}(4, 6) = 12$

Vigawo tasa, KKS na KDS · Kikokotoo cha KKS na KDS

Namba au usemi unaogawanya mwingine bila baki.

Mfano: Vigawo vya 12 ni 1, 2, 3, 4, 6 na 12.

Kikokotoo cha vigawo

Namba nzima kubwa zaidi inayogawanya namba mbili au zaidi bila baki.

Mfano: $\gcd(12, 18) = 6$

Vigawo tasa, KKS na KDS · Kikokotoo cha KKS na KDS

Herufi inayowakilisha namba inayoweza kubadilika au isiyojulikana.

Mfano: Katika $y = 2x + 1$, $x$ na $y$ ni vigeu.

Tafuta x

Mahali grafu inapokatiza mhimili. Mstari $y = mx + c$ hukatiza mhimili wa $y$ kwenye $c$.

Mwinuko na mlinganyo wa mstari

Thamani zote za kuingiza ambazo fomula inaruhusiwa kuchukua.

Mfano: Kikoa cha $\sqrt{x}$ ni $x \ge 0$.

Fomula (fankshani)

1 ikigawanywa kwa namba; unakipata kwa kugeuza sehemu.

Mfano: Kinyume cha $\frac{2}{5}$ ni $\frac{5}{2}$.

Sehemu

Sehemu moja ya usemi, iliyotenganishwa na nyingine kwa alama ya $+$ au $-$. Pia kila namba katika mfuatano.

Mfano: $4x^2 - 3x + 1$ ina vipengele vitatu.

Mstari mnyoofu unaopita katikati ya duara kutoka upande mmoja hadi mwingine; mara mbili ya nusu kipenyo.

Kikokotoo cha duara

Namba ndogo iliyoinuliwa katika kipeo: inaonyesha msingi unazidishwa na wenyewe mara ngapi.

Mfano: $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$

Kikokotoo cha vipeo

Nukta ya kona ambapo mistari au kingo hukutana; kwa parabola, nukta yake ya kugeuka.

Mfano: Kipeo cha $y = (x - 2)^2 + 1$ ni $(2, 1)$.

Thamani ya kigeu inayofanya mlinganyo kuwa kweli; kwa $f(x) = 0$, mahali grafu inapokatiza mhimili wa $x$.

Mfano: Vipeuo vya $x^2 - 9 = 0$ ni $x = 3$ na $x = -3$.

Suluhisho katika hisabati ni nini?

Namba ambayo ikizidishwa na yenyewe inatoa namba ya awali. $\sqrt{a}$ maana yake kipeuo kisicho hasi.

Mfano: $\sqrt{49} = 7$

Vipeuo vya pili · Kikokotoo cha kipeuo cha pili

Namba ambayo ikizidishwa na yenyewe mara tatu inatoa namba ya awali.

Mfano: $\sqrt[3]{64} = 4$ kwa sababu $4^3 = 64$.

Kipeuo kisichoweza kurahisishwa kuwa namba nzima au sehemu.

Mfano: $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

Jinsi ya kurahisisha vipeuo

Thamani isiyobadilika, kama namba iliyo peke yake katika usemi.

Mfano: Katika $4x + 9$, konstanti ni 9.

Jozi ya namba $(x, y)$ inayoonyesha mahali pa nukta: kwanza mlalo, kisha juu.

Kikokotoo cha umbali na nukta ya kati

Namba inayozidisha kigeu katika kipengele.

Mfano: Katika $7x^2$, kizidishi ni 7.

Polinomia

Katika pembetatu mraba, upande wa kando ukigawanywa kwa hipotenusi: $\cos\theta = \frac{\text{adj}}{\text{hyp}}$.

Misingi ya trigonometria

Kuandika usemi kwa umbo fupi zaidi linalolingana: kukusanya vipengele vinavyofanana, kufuta vigawo vya pamoja na kadhalika.

Kurahisisha semi

Kauli kwamba thamani moja ni ndogo kuliko ($<$), kubwa kuliko ($>$), isiyozidi ($\le$) au angalau ($\ge$) nyingine.

Mfano: $2x - 1 > 5$ inatoa $x > 3$.

Kutatua milinganyo ya kutolingana · Kikokotoo cha kutolingana

Kuandika usemi kama zao la semi rahisi zaidi.

Mfano: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

Kuweka polinomia katika vigawo · Kikokotoo cha kuweka katika vigawo

Thamani zinazogawa data iliyopangwa katika sehemu nne sawa: $Q_1$ (ya chini), $Q_2$ (kati) na $Q_3$ (ya juu).

Kikokotoo cha kwatili

Kipeo ambacho msingi lazima upandishwe ili kutoa namba fulani: $\log_b a = c$ maana yake $b^c = a$.

Mfano: $\log_2 8 = 3$ kwa sababu $2^3 = 8$.

Kikokotoo cha logariti

Thamani kubwa zaidi kutoa thamani ndogo zaidi katika seti ya data.

Mfano: Data 4, 9, 2, 7: masafa $= 9 - 2 = 7$.

Wastani na mtawanyiko

Thamani zote za matokeo ambazo fomula inaweza kutoa.

Mfano: Masafa ya $x^2$ ni $y \ge 0$.

Fomula (fankshani)

Gridi ya mstatili ya namba zilizopangwa kwa safu mlalo na safu wima.

Kikokotoo cha diterminanti

Matriki $A^{-1}$ inayotoa matriki ya utambulisho ikizidishwa na $A$. Ipo tu pale $\det A \ne 0$.

Kikokotoo cha matriki kinyume

Maumbo yenye pembe zilezile na pande zote katika uwiano mmoja: moja ni ukuzaji wa jingine.

Orodha ya namba ambapo kiasi kilekile (tofauti ya pamoja) huongezwa kila mara. Kipengele cha $n$ ni $a + (n-1)d$.

Mfano: $3, 7, 11, 15, \ldots$ ina tofauti ya pamoja $d = 4$.

Orodha ya namba ambapo kila kipengele ni kile kilichotangulia kikizidishwa kwa namba ileile (uwiano wa pamoja). Kipengele cha $n$ ni $ar^{n-1}$.

Mfano: $2, 6, 18, 54, \ldots$ ina uwiano wa pamoja $r = 3$.

Mstari unaogawa umbo au grafu katika nusu mbili zinazofanana kama kioo. Kwa $y = ax^2 + bx + c$ ni $x = -\frac{b}{2a}$.

Milinganyo ya kipeo cha pili

Uchaguzi wa vitu ambapo mpangilio haujalishi: $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$.

Mfano: Kuchagua watu 2 kati ya 4: njia $\binom{4}{2} = 6$.

Kikokotoo cha vibali na michanganyiko

Milinganyo miwili au zaidi inayopaswa kuwa kweli kwa wakati mmoja; pia huitwa mfumo wa milinganyo.

Mfano: $x + y = 5$ na $x - y = 1$ zinatoa $x = 3$, $y = 2$.

Mifumo ya milinganyo · Kitatuzi cha mifumo ya milinganyo

Mistari isiyokutana kamwe. Mistari sambamba ina mwinuko uleule.

Mwinuko na mlinganyo wa mstari

Mistari inayokutana kwa pembe mraba. Zao la miinuko yake ni $-1$ (isipokuwa mmoja ni wima).

Mwinuko na mlinganyo wa mstari

Kipimo cha jinsi data ilivyotawanyika kuzunguka wastani: kipeuo cha pili cha tofauti.

Kikokotoo cha mkengeuko sanifu

Kauli kwamba semi mbili ni sawa, zikiunganishwa kwa alama ya sawa na.

Mfano: $2x + 1 = 9$

Milinganyo

Mlinganyo wa umbo $ax^2 + bx + c = 0$ ambapo $a \ne 0$. Masuluhisho: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

Milinganyo ya kipeo cha pili · Kitatuzi cha milinganyo ya kipeo cha pili

Mlinganyo ambao kigeu kina kipeo 1. Grafu yake ni mstari mnyoofu.

Mfano: $5x - 2 = 13$ inatoa $x = 3$.

Kutatua milinganyo ya mstari · Kitatuzi cha milinganyo ya mstari

Thamani inayojitokeza mara nyingi zaidi katika seti ya data. Inaweza kuwa zaidi ya moja.

Kikokotoo cha wastani, kati na modi

Polinomia yenye kipengele kimoja.

Mfano: $-4x^3y$

Mpangilio uliokubaliwa wa kukokotoa: mabano, vipeo, kuzidisha na kugawanya (kushoto kwenda kulia), kisha kujumlisha na kutoa (kushoto kwenda kulia). Hujulikana kama BIDMAS, BODMAS au PEMDAS.

Mfano: $2 + 3 \times 4 = 14$, si 20.

Kikokotoo cha msingi

Katika kipeo $a^n$, namba $a$ inayozidishwa na yenyewe. Pia upande wa chini wa umbo unaotumika kwa eneo (kitako).

Mfano: Katika $2^5$, msingi ni 2.

Kikokotoo cha vipeo

Neno jingine la mwinuko: mstari una mwinuko kiasi gani.

Mwinuko na mlinganyo wa mstari

Mstari una mwinuko kiasi gani: kupanda juu ya kwenda mbele, $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Mfano: Kutoka $(1, 2)$ hadi $(3, 8)$: $m = \frac{6}{2} = 3$.

Mwinuko na mlinganyo wa mstari · Kikokotoo cha mwinuko

Umbali wote wa kuzunguka nje ya umbo.

Mfano: Mstatili wa 5 kwa 3 una mzingo wa $2(5 + 3) = 16$.

Umbali wa kuzunguka duara: $C = 2\pi r$, ambapo $r$ ni nusu kipenyo.

Mfano: Duara lenye nusu kipenyo cha cm 5 lina $C = 10\pi \approx 31.4$ cm.

Kikokotoo cha duara

Katika pembetatu mraba, $a^2 + b^2 = c^2$, ambapo $c$ ni hipotenusi.

Mfano: Pande 3 na 4 zinatoa hipotenusi $\sqrt{9 + 16} = 5$.

Nadharia ya Pythagoras · Kikokotoo cha nadharia ya Pythagoras

Namba ya kuhesabia: 1, 2, 3, … (baadhi ya vitabu hujumuisha 0).

Namba nzima kubwa kuliko 1 yenye kigawo kingine zaidi ya 1 na yenyewe.

Mfano: 12 ni namba changamano: $12 = 2^2 \times 3$.

Kikokotoo cha vigawo vya namba tasa

Namba inayoweza kuandikwa kama $\frac{a}{b}$ ambapo $a$ na $b \ne 0$ ni namba kamili.

Mfano: $0.25 = \frac{1}{4}$ na $-3 = \frac{-3}{1}$

Namba isiyoweza kuandikwa kama sehemu ya namba kamili mbili; desimali zake haziishi wala hazijirudii.

Mfano: $\sqrt{2}$ na $\pi$

Vipeuo vya pili

Namba nzima inayoweza kuwa chanya, hasi au sifuri.

Mfano: $-3, 0, 12$

Namba nzima na sehemu halisi zilizoandikwa pamoja.

Mfano: $3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$

Sehemu

Namba isiyo na sehemu: 0, 1, 2, 3, …

Namba nzima kubwa kuliko 1 ambayo vigawo vyake ni 1 na yenyewe tu.

Mfano: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …

Vigawo tasa, KKS na KDS

Nukta iliyo katikati kabisa ya nukta mbili: $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$.

Kikokotoo cha umbali na nukta ya kati

Kuandika namba kama $a \times 10^n$ ambapo $1 \le |a| < 10$ na $n$ ni namba kamili.

Mfano: $45\,000 = 4.5 \times 10^4$

Kibadilishaji cha nukuu ya kisayansi

Umbali kutoka katikati ya duara hadi ukingo wake; nusu ya kipenyo.

Kikokotoo cha duara

Uwiano wa mzingo wa duara lolote kwa kipenyo chake, takriban 3.14159. Ni namba isiyowiana.

Kikokotoo cha duara

Grafu yenye umbo la U ya fomula ya kipeo cha pili $y = ax^2 + bx + c$.

Jinsi ya kuchora grafu ya mlinganyo

Kiasi cha mzunguko kati ya miale miwili inayokutana kwenye nukta moja (kipeo), hupimwa kwa digrii au radiani.

Kibadilishaji cha digrii na radiani

Pembe iliyo kubwa kuliko $90^\circ$ na ndogo kuliko $180^\circ$.

Pembe iliyo kubwa kuliko $0^\circ$ na ndogo kuliko $90^\circ$.

Mfano: Kila pembe ya pembetatu sawa, $60^\circ$, ni pembe kali.

Aina za pembetatu

Pembe mbili zinazojumlishwa kufikia $90^\circ$.

Mfano: $35^\circ$ na $55^\circ$ ni pembe kamilishani.

Pembe ya $90^\circ$ hasa, mara nyingi huwekwa alama ya mraba mdogo.

Pembe mbili zinazojumlishwa kufikia $180^\circ$.

Mfano: $110^\circ$ na $70^\circ$ ni pembe nyongeza.

Poligoni yenye pande nne. Pembe zake hujumlishwa kufikia $360^\circ$.

Poligoni na pembenne

Pembetatu yenye pande mbili sawa, na pembe mbili zilizo mkabala nazo pia ni sawa.

Aina za pembetatu

Pembetatu yenye pande zote tatu sawa na pembe zote tatu $60^\circ$.

Aina za pembetatu

Umbo bapa lililofungwa lenye pande nyoofu.

Mfano: Pembetatu, pembenne na pembesita ni poligoni; duara si poligoni.

Poligoni na pembenne

Usemi unaoundwa na vipengele vyenye vipeo vya namba nzima vya kigeu, vikijumlishwa au kutolewa.

Mfano: $2x^3 - x + 7$

Polinomia · Kikokotoo cha polinomia

Kipimo cha pembe: pembe inayoundwa na tao lenye urefu sawa na nusu kipenyo. $\pi$ radiani $= 180^\circ$.

Kibadilishaji cha digrii na radiani

Pesa inayolipwa kwa kukopa au kupatikana kwa kuweka akiba. Riba rahisi ni $I = Prt$; riba mchanganyiko huongeza riba kwenye salio kila kipindi.

Kikokotoo cha riba

Moja ya maeneo manne ambayo mihimili ya $x$ na $y$ hugawa bapa, yakipewa namba I hadi IV kinyume na mzunguko wa saa kuanzia juu kulia.

Katika pembetatu mraba, upande wa kinyume ukigawanywa kwa hipotenusi: $\sin\theta = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}}$.

Misingi ya trigonometria · Kikokotoo cha trigonometria

Sehemu ya kizima, huandikwa kama namba moja juu ya nyingine: $\frac{a}{b}$.

Sehemu · Kikokotoo cha sehemu

Sehemu ambayo kiasi chake ni kikubwa kuliko au sawa na kiasili.

Mfano: $\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$

Sehemu

Katika pembetatu mraba, upande wa kinyume ukigawanywa kwa upande wa kando: $\tan\theta = \frac{\text{opp}}{\text{adj}}$.

Misingi ya trigonometria

Umbali wa namba kutoka sifuri kwenye mstari wa namba, kwa hiyo haiwi hasi kamwe. Huandikwa kati ya mistari miwili wima.

Mfano: $|-7| = 7$ na $|7| = 7$.

Kikokotoo cha thamani kamili

Pembenne yenye jozi moja ya pande sambamba. Eneo $= \frac{1}{2}(a + b)h$.

Eneo la trapeza

Kiasi cha nafasi umbo la 3D linachochukua, hupimwa kwa vipimo vya mchemraba.

Mfano: Silinda: $V = \pi r^2 h$.

Maumbo ya 3D · Kikokotoo cha ujazo

Mlinganyo wa mstari ulioandikwa kama $y = mx + b$: mwinuko $m$, na mstari hukatiza mhimili wa $y$ kwenye $b$.

Mwinuko na mlinganyo wa mstari

Kauli kwamba uwiano miwili ni sawa.

Mfano: $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$

Uwiano na urari

Namba, vigeu na hatua za hesabu zilizowekwa pamoja, bila alama ya sawa na.

Kurahisisha semi

Mchanganyiko wa namba, herufi (vigeu) na hatua za hesabu, bila alama ya sawa na.

Mfano: $3x^2 - 5x + 2$

Kurahisisha semi

Sehemu ambayo juu na chini yake ni polinomia.

Mfano: $\frac{x + 1}{x^2 - 4}$

Semi za kisehemu · Kikokotoo cha semi za kisehemu

Mlinganyo ulio kweli kwa kila thamani ya kigeu.

Mfano: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

Kikokotoo cha utambulisho wa trigonometria

Jinsi tukio linavyowezekana, kuanzia 0 (haliwezekani) hadi 1 (hakika). Matokeo yakiwa na nafasi sawa, ni $\frac{\text{favourable}}{\text{total}}$.

Mfano: Kupata 6 kwenye kete ya haki: $\frac{1}{6}$.

Kikokotoo cha uwezekano

Ulinganisho wa viwango viwili, huandikwa $a : b$.

Mfano: Wavulana 6 na wasichana 4 ni $6 : 4 = 3 : 2$.

Uwiano na urari · Kikokotoo cha uwiano

Kiasi chenye ukubwa na mwelekeo.

Mfano: $\vec{v} = (3, 4)$ ina ukubwa $5$.

Kikokotoo cha vekta

Vekta yenye urefu 1, hupatikana kwa kugawanya vekta kwa urefu wake.

Kikokotoo cha vekta kizio

Mpangilio wa vitu ambapo mpangilio unajalisha: $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$.

Mfano: Kupanga watu 2 kati ya 4 kwa mpangilio: $P(4, 2) = 12$.

Kikokotoo cha vibali na michanganyiko

Kuandika namba kama zao la namba tasa.

Mfano: $60 = 2^2 \times 3 \times 5$

Kikokotoo cha vigawo vya namba tasa

Vipengele vyenye vigeu na vipeo vilevile hasa, kwa hiyo vinaweza kujumlishwa.

Mfano: $3x^2$ na $-5x^2$ ni vipengele vinavyofanana: pamoja vinatoa $-2x^2$.

Kurahisisha semi

Thamani moja inayowakilisha seti ya data. Kwa kawaida humaanisha wastani wa hesabu, lakini kati na modi pia ni wastani.

Wastani na mtawanyiko

Jumla ya thamani ikigawanywa kwa idadi ya thamani.

Mfano: Wastani wa 2, 4 na 9 ni $\frac{15}{3} = 5$.

Wastani na mtawanyiko · Kikokotoo cha wastani, kati na modi