Mathe-Glossar

Die Änderungsrate einer Funktion bzw. die Steigung ihres Graphen in einem Punkt. Für $x^n$ ist sie $nx^{n-1}$.

Beispiel: Die Ableitung von $x^3$ ist $3x^2$.

Ableitungen und die Potenzregel · Ableitungsrechner

Wo ein Graph eine Achse schneidet. Die Gerade $y = mx + c$ schneidet die $y$-Achse bei $c$.

Steigung und Geradengleichung

Eine Kombination aus Zahlen, Buchstaben (Variablen) und Rechenzeichen, ohne Gleichheitszeichen.

Beispiel: $3x^2 - 5x + 2$

Terme vereinfachen

Eine Zahlenfolge, bei der jedes Mal derselbe Betrag (die Differenz) addiert wird. Das $n$-te Glied ist $a + (n-1)d$.

Beispiel: $3, 7, 11, 15, \ldots$ hat die Differenz $d = 4$.

Die Summe der Werte geteilt durch die Anzahl der Werte.

Beispiel: Das Mittel von 2, 4 und 9 ist $\frac{15}{3} = 5$.

Mittelwerte und Streuung · Rechner für Mittelwert, Median und Modus

Eine Gerade, der sich ein Graph immer weiter nähert, ohne sie zu erreichen, wenn $x$ oder $y$ groß wird.

Beispiel: $y = \frac{1}{x}$ hat die Asymptoten $x = 0$ und $y = 0$.

Bruchterme

Figuren mit gleichen Winkeln, deren Seiten alle im selben Verhältnis stehen: Die eine ist eine Vergrößerung der anderen.

In einer Potenz $a^n$ die Zahl $a$, die mit sich selbst multipliziert wird. Auch die untere Seite einer Figur, die für den Flächeninhalt verwendet wird (Grundseite).

Beispiel: In $2^5$ ist die Basis 2.

Potenzrechner

Der Abstand einer Zahl von null auf dem Zahlenstrahl; er ist also nie negativ. Man schreibt ihn mit senkrechten Strichen.

Beispiel: $|-7| = 7$ und $|7| = 7$.

Betragsrechner

Ein Polynom mit genau zwei Termen.

Beispiel: $x + 3$ und $2a^2 - 5b$ sind Binome.

Polynome

Ein Teil eines Ganzen, geschrieben als eine Zahl über einer anderen: $\frac{a}{b}$.

Brüche · Bruchrechner

Ein Bruch, dessen Zähler und Nenner Polynome sind.

Beispiel: $\frac{x + 1}{x^2 - 4}$

Bruchterme · Rechner für Bruchterme

Alle Eingabewerte, die eine Funktion annehmen darf.

Beispiel: Der Definitionsbereich von $\sqrt{x}$ ist $x \ge 0$.

Funktionen

Eine Zahl, die aus einer quadratischen Matrix berechnet wird. Für $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ ist sie $ad - bc$; die Matrix ist nur invertierbar, wenn sie nicht 0 ist.

So berechnet man die Determinante · Determinantenrechner

Eine Zahl mit Komma, bei der die Ziffern nach dem Komma Zehntel, Hundertstel usw. sind.

Beispiel: $0.75 = \frac{3}{4}$

Umrechner Dezimalzahl in Bruch

Für $ax^2 + bx + c = 0$ der Wert $b^2 - 4ac$. Positiv: zwei reelle Lösungen; null: eine; negativ: keine reelle.

Quadratische Gleichungen · Löser für quadratische Gleichungen

Eine Strecke durch den Mittelpunkt eines Kreises von einer Seite zur anderen; doppelt so lang wie der Radius.

Kreisrechner

Ein Eckpunkt, an dem Linien oder Kanten zusammentreffen; bei einer Parabel ihr Scheitelpunkt.

Beispiel: Der Scheitelpunkt von $y = (x - 2)^2 + 1$ ist $(2, 1)$.

Ein Vektor der Länge 1, den man erhält, indem man einen Vektor durch seine Länge teilt.

Einheitsvektor-Rechner

Die kleine hochgestellte Zahl in einer Potenz: Sie gibt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird. Auch Hochzahl genannt.

Beispiel: $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$

Potenzrechner

Einen Term als Produkt einfacherer Terme schreiben.

Beispiel: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

Polynome faktorisieren · Faktorisierungsrechner

Das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis $n$, geschrieben $n!$. Per Definition ist $0! = 1$.

Beispiel: $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

Rechner für Permutationen und Kombinationen

Wie viel ebene Fläche eine Figur bedeckt, gemessen in Quadrateinheiten.

Beispiel: Ein Rechteck von 5 cm mal 3 cm hat den Flächeninhalt $5 \times 3 = 15\text{ cm}^2$.

Flächeninhalt gängiger Figuren · Flächenrechner

Eine Vorschrift, die jedem Eingabewert genau einen Ausgabewert zuordnet.

Beispiel: $f(x) = 2x + 3$ ergibt $f(4) = 11$.

Funktionen · Funktionsrechner

Eine Zahl ohne Nachkommastellen, die positiv, negativ oder null sein kann.

Beispiel: $-3, 0, 12$

Ein gemeinsamer Nenner, mit dem man Brüche addieren oder vergleichen kann. Der kleinste ist das kgV der Nenner.

Beispiel: $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$

Brüche

Eine ganze Zahl und ein echter Bruch, zusammen geschrieben.

Beispiel: $3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$

Brüche

Eine Zahlenfolge, bei der jedes Glied das vorherige mal dieselbe Zahl (den Quotienten) ist. Das $n$-te Glied ist $ar^{n-1}$.

Beispiel: $2, 6, 18, 54, \ldots$ hat den Quotienten $r = 3$.

Terme mit genau denselben Variablen und Exponenten, die man daher zusammenfassen kann.

Beispiel: $3x^2$ und $-5x^2$ sind gleichartig: zusammen ergeben sie $-2x^2$.

Terme vereinfachen

Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten; die beiden gegenüberliegenden Winkel sind ebenfalls gleich.

Arten von Dreiecken

Ein Dreieck, bei dem alle drei Seiten gleich lang und alle drei Winkel $60^\circ$ groß sind.

Arten von Dreiecken

Eine Aussage, dass zwei Terme gleich sind, verbunden durch ein Gleichheitszeichen.

Beispiel: $2x + 1 = 9$

Gleichungen

Zwei oder mehr Gleichungen, die gleichzeitig gelten müssen; auch lineares Gleichungssystem genannt.

Beispiel: $x + y = 5$ und $x - y = 1$ ergeben $x = 3$, $y = 2$.

Gleichungssysteme · Löser für Gleichungssysteme

Die höchste Potenz der Variablen in einem Polynom.

Beispiel: $4x^3 - x + 1$ hat den Grad 3.

Polynome

Ein anderes Wort für Steigung: wie steil eine Gerade ist.

Steigung und Geradengleichung

Die größte natürliche Zahl, die zwei oder mehr Zahlen ohne Rest teilt.

Beispiel: $\gcd(12, 18) = 6$

Primfaktoren, ggT und kgV · ggT- und kgV-Rechner

Die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, gegenüber dem rechten Winkel.

Der Satz des Pythagoras · Rechner für den Satz des Pythagoras

Eine Gleichung, die für jeden Wert der Variablen wahr ist.

Beispiel: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

Rechner für trigonometrische Identitäten

Die Umkehrung der Ableitung bzw. die Fläche unter einer Kurve. $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ für $n \ne -1$.

Integralrechner

Die Matrix $A^{-1}$, die mit $A$ multipliziert die Einheitsmatrix ergibt. Sie existiert nur, wenn $\det A \ne 0$.

Rechner für inverse Matrizen

Eine Zahl, die sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben lässt; ihre Dezimaldarstellung endet nie und wiederholt sich nicht.

Beispiel: $\sqrt{2}$ und $\pi$

Quadratwurzeln

1 geteilt durch eine Zahl; man erhält ihn, indem man einen Bruch umdreht.

Beispiel: Der Kehrwert von $\frac{2}{5}$ ist $\frac{5}{2}$.

Brüche

Die kleinste positive Zahl, die ein Vielfaches von zwei oder mehr Zahlen ist.

Beispiel: $\operatorname{lcm}(4, 6) = 12$

Primfaktoren, ggT und kgV · ggT- und kgV-Rechner

Die Zahl, mit der eine Variable in einem Term multipliziert wird.

Beispiel: In $7x^2$ ist der Koeffizient 7.

Polynome

Eine Auswahl von Elementen, bei der die Reihenfolge keine Rolle spielt: $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$.

Beispiel: 2 von 4 Personen auswählen: $\binom{4}{2} = 6$ Möglichkeiten.

Rechner für Permutationen und Kombinationen

Zwei Winkel, die zusammen $90^\circ$ ergeben.

Beispiel: $35^\circ$ und $55^\circ$ sind Komplementwinkel.

Ein Wert, der sich nicht ändert, etwa eine einzelne Zahl in einem Term.

Beispiel: In $4x + 9$ ist die Konstante 9.

Ein Zahlenpaar $(x, y)$, das die Lage eines Punktes angibt: zuerst nach rechts, dann nach oben.

Rechner für Abstand und Mittelpunkt

Im rechtwinkligen Dreieck die Ankathete geteilt durch die Hypotenuse: $\cos\theta = \frac{\text{adj}}{\text{hyp}}$.

Grundlagen der Trigonometrie

Die Länge rund um einen Kreis: $C = 2\pi r$, wobei $r$ der Radius ist.

Beispiel: Ein Kreis mit Radius 5 cm hat $C = 10\pi \approx 31.4$ cm.

Kreisrechner

Die Zahl, die dreimal mit sich selbst multipliziert die Ausgangszahl ergibt.

Beispiel: $\sqrt[3]{64} = 4$, weil $4^3 = 64$.

Eine Gleichung, in der die Variable den Exponenten 1 hat. Ihr Graph ist eine Gerade.

Beispiel: $5x - 2 = 13$ ergibt $x = 3$.

Lineare Gleichungen lösen · Löser für lineare Gleichungen

Der Exponent, mit dem man eine Basis potenzieren muss, um eine Zahl zu erhalten: $\log_b a = c$ bedeutet $b^c = a$.

Beispiel: $\log_2 8 = 3$, weil $2^3 = 8$.

Logarithmusrechner

Ein Wert der Variablen, der eine Gleichung wahr macht; bei $f(x) = 0$ die Stelle, an der der Graph die $x$-Achse schneidet (Nullstelle).

Beispiel: Die Lösungen von $x^2 - 9 = 0$ sind $x = 3$ und $x = -3$.

Was ist eine Lösung in der Mathematik?

Ein rechteckiges Zahlenschema aus Zeilen und Spalten.

Determinantenrechner

Der mittlere Wert der geordneten Daten; bei gerader Anzahl das Mittel der beiden mittleren Werte.

Beispiel: Der Median von 3, 8, 1, 6 ist $\frac{3 + 6}{2} = 4.5$.

Rechner für Mittelwert, Median und Modus

Der Punkt genau zwischen zwei Punkten: $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$.

Rechner für Abstand und Mittelpunkt

Ein einzelner Wert, der eine Datenreihe repräsentiert. Meist ist das arithmetische Mittel gemeint, aber auch Median und Modus sind Mittelwerte.

Mittelwerte und Streuung

Der Wert, der in einer Datenreihe am häufigsten vorkommt. Es kann mehrere geben.

Rechner für Mittelwert, Median und Modus

Ein Polynom mit einem einzigen Term.

Beispiel: $-4x^3y$

Eine Zählzahl: 1, 2, 3, … (manche Bücher zählen die 0 dazu).

Eine Zahl ohne Bruchteil: 0, 1, 2, 3, …

Die untere Zahl eines Bruchs: in wie viele gleiche Teile das Ganze geteilt wird.

Beispiel: In $\frac{3}{8}$ ist der Nenner 8.

Brüche

Die Geradengleichung in der Form $y = mx + b$: Steigung $m$, Schnittpunkt mit der $y$-Achse bei $b$.

Steigung und Geradengleichung

Die gesamte Fläche aller Seitenflächen oder gekrümmten Flächen eines Körpers.

Beispiel: Ein Würfel mit Kantenlänge 2 hat den Oberflächeninhalt $6 \times 2^2 = 24$.

Oberflächenrechner

Der U-förmige Graph einer quadratischen Funktion $y = ax^2 + bx + c$.

So zeichnest du eine Gleichung

Geraden, die sich nie schneiden. Parallele Geraden haben dieselbe Steigung.

Steigung und Geradengleichung

Eine Anordnung von Elementen, bei der die Reihenfolge zählt: $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$.

Beispiel: 2 von 4 Personen der Reihe nach anordnen: $P(4, 2) = 12$.

Rechner für Permutationen und Kombinationen

Das Verhältnis des Umfangs eines beliebigen Kreises zu seinem Durchmesser, etwa 3.14159. Pi ist irrational.

Kreisrechner

Ein Term aus Summanden mit ganzzahligen, nicht negativen Potenzen der Variablen, die addiert oder subtrahiert werden.

Beispiel: $2x^3 - x + 7$

Polynome · Polynomrechner

Eine Zahl als Produkt von Primzahlen schreiben.

Beispiel: $60 = 2^2 \times 3 \times 5$

Rechner für Primfaktorzerlegung

Eine natürliche Zahl größer als 1, deren einzige Teiler 1 und sie selbst sind.

Beispiel: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …

Primfaktoren, ggT und kgV

Eine Zahl von 100. $p\%$ bedeutet $\frac{p}{100}$.

Beispiel: $20\%$ von 50 sind $0.2 \times 50 = 10$.

So berechnest du Prozente · Prozentrechner

Einer der vier Bereiche, in die die $x$- und die $y$-Achse die Ebene teilen, nummeriert von I bis IV gegen den Uhrzeigersinn, beginnend oben rechts.

Eine Gleichung der Form $ax^2 + bx + c = 0$ mit $a \ne 0$. Lösungen: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

Quadratische Gleichungen · Löser für quadratische Gleichungen

Eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert die Ausgangszahl ergibt. $\sqrt{a}$ bezeichnet die nicht negative.

Beispiel: $\sqrt{49} = 7$

Quadratwurzeln · Wurzelrechner

Werte, die geordnete Daten in vier gleich große Teile teilen: $Q_1$ (unteres), $Q_2$ (Median) und $Q_3$ (oberes).

Quartilsrechner

Das Ergebnis einer Division.

Beispiel: In $20 \div 4 = 5$ ist der Quotient 5.

Eine Winkeleinheit: der Winkel, den ein Bogen so lang wie der Radius einschließt. $\pi$ Radiant $= 180^\circ$.

Umrechner Grad und Bogenmaß

Der Abstand vom Mittelpunkt eines Kreises zum Rand; halb so lang wie der Durchmesser.

Kreisrechner

Eine Zahl, die sich als $\frac{a}{b}$ schreiben lässt, mit ganzen Zahlen $a$ und $b \ne 0$.

Beispiel: $0.25 = \frac{1}{4}$ und $-3 = \frac{-3}{1}$

Die vereinbarte Reihenfolge beim Rechnen: Klammern, Potenzen, Multiplikation und Division (von links nach rechts), dann Addition und Subtraktion (von links nach rechts). Bekannt als „Punkt vor Strich“ bzw. BIDMAS, BODMAS oder PEMDAS.

Beispiel: $2 + 3 \times 4 = 14$, nicht 20.

Einfacher Rechner

Ein Winkel von genau $90^\circ$, oft mit einem kleinen Quadrat markiert.

Im rechtwinkligen Dreieck gilt $a^2 + b^2 = c^2$, wobei $c$ die Hypotenuse ist.

Beispiel: Katheten 3 und 4 ergeben die Hypotenuse $\sqrt{9 + 16} = 5$.

Der Satz des Pythagoras · Rechner für den Satz des Pythagoras

Geraden, die sich im rechten Winkel schneiden. Das Produkt ihrer Steigungen ist $-1$ (außer eine ist senkrecht).

Steigung und Geradengleichung

Im rechtwinkligen Dreieck die Gegenkathete geteilt durch die Hypotenuse: $\sin\theta = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}}$.

Grundlagen der Trigonometrie · Trigonometrie-Rechner

Der größte Wert minus der kleinste Wert einer Datenreihe.

Beispiel: Daten 4, 9, 2, 7: Spannweite $= 9 - 2 = 7$.

Mittelwerte und Streuung

Ein Winkel, der größer als $0^\circ$ und kleiner als $90^\circ$ ist.

Beispiel: Jeder Winkel eines gleichseitigen Dreiecks, $60^\circ$, ist spitz.

Arten von Dreiecken

Ein Maß dafür, wie stark Daten um den Mittelwert streuen: die Quadratwurzel der Varianz.

Rechner für die Standardabweichung

Wie steil eine Gerade ist: Höhenunterschied durch Breitenunterschied, $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Beispiel: Von $(1, 2)$ nach $(3, 8)$: $m = \frac{6}{2} = 3$.

Steigung und Geradengleichung · Steigungsrechner

Ein Winkel, der größer als $90^\circ$ und kleiner als $180^\circ$ ist.

Ein einzelner Teil eines Terms, durch $+$ oder $-$ von den anderen getrennt. Auch eine Zahl in einer Folge (Glied).

Beispiel: $4x^2 - 3x + 1$ hat drei Summanden.

Zwei Winkel, die zusammen $180^\circ$ ergeben.

Beispiel: $110^\circ$ und $70^\circ$ sind Supplementwinkel.

Eine Gerade, die eine Figur oder einen Graphen in zwei spiegelbildliche Hälften teilt. Für $y = ax^2 + bx + c$ ist sie $x = -\frac{b}{2a}$.

Quadratische Gleichungen

Im rechtwinkligen Dreieck die Gegenkathete geteilt durch die Ankathete: $\tan\theta = \frac{\text{opp}}{\text{adj}}$.

Grundlagen der Trigonometrie

Eine Zahl oder ein Term, die bzw. der eine andere Größe ohne Rest teilt.

Beispiel: Die Teiler von 12 sind 1, 2, 3, 4, 6 und 12.

Teilerrechner

Zahlen, Variablen und Rechenzeichen zusammen, ohne Gleichheitszeichen.

Terme vereinfachen

Ein Viereck mit einem Paar paralleler Seiten. Flächeninhalt $= \frac{1}{2}(a + b)h$.

Flächeninhalt eines Trapezes

Die gesamte Länge rund um eine Figur.

Beispiel: Ein Rechteck von 5 mal 3 hat den Umfang $2(5 + 3) = 16$.

Ein Bruch, dessen Zähler größer oder gleich dem Nenner ist.

Beispiel: $\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$

Brüche

Eine Aussage, dass ein Wert kleiner ($<$), größer ($>$), höchstens ($\le$) oder mindestens ($\ge$) ein anderer ist.

Beispiel: $2x - 1 > 5$ ergibt $x > 3$.

Ungleichungen lösen · Ungleichungsrechner

Ein Buchstabe, der für eine veränderliche oder unbekannte Zahl steht.

Beispiel: In $y = 2x + 1$ sind $x$ und $y$ Variablen.

x berechnen

Eine Größe mit Betrag (Länge) und Richtung.

Beispiel: $\vec{v} = (3, 4)$ hat den Betrag $5$.

Vektorrechner

Einen Term kürzer und gleichwertig schreiben: gleichartige Terme zusammenfassen, gemeinsame Faktoren kürzen usw.

Terme vereinfachen

Ein Vergleich zweier Größen, geschrieben $a : b$.

Beispiel: 6 Jungen und 4 Mädchen: $6 : 4 = 3 : 2$.

Verhältnisse und Proportionen · Verhältnisrechner

Eine Aussage, dass zwei Verhältnisse gleich sind.

Beispiel: $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$

Verhältnisse und Proportionen

Eine Funktion, die auf das Ergebnis einer anderen angewendet wird: $f(g(x))$ heißt, zuerst $g$, dann $f$.

Beispiel: Wenn $f(x) = x^2$ und $g(x) = x + 1$, dann ist $f(g(x)) = (x+1)^2$.

Funktionen

Eine geschlossene ebene Figur aus geraden Seiten.

Beispiel: Dreiecke, Vierecke und Sechsecke sind Vielecke; ein Kreis nicht.

Vielecke und Vierecke

Das Ergebnis, wenn man eine Zahl mit einer ganzen Zahl multipliziert.

Beispiel: Vielfache von 6: 6, 12, 18, 24, …

Ein Vieleck mit vier Seiten. Seine Winkel ergeben zusammen $360^\circ$.

Vielecke und Vierecke

Der Raum, den ein Körper einnimmt, gemessen in Kubikeinheiten.

Beispiel: Ein Zylinder: $V = \pi r^2 h$.

Geometrische Körper · Volumenrechner

Wie wahrscheinlich ein Ereignis ist, von 0 (unmöglich) bis 1 (sicher). Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen ist sie $\frac{\text{favourable}}{\text{total}}$.

Beispiel: Eine 6 mit einem fairen Würfel: $\frac{1}{6}$.

Wahrscheinlichkeitsrechner

Alle Ausgabewerte, die eine Funktion annehmen kann.

Beispiel: Der Wertebereich von $x^2$ ist $y \ge 0$.

Funktionen

Das Maß der Drehung zwischen zwei Strahlen, die sich in einem Punkt (dem Scheitel) treffen, gemessen in Grad oder Bogenmaß.

Umrechner Grad und Bogenmaß

Eine Zahl als $a \times 10^n$ schreiben, mit $1 \le |a| < 10$ und ganzzahligem $n$.

Beispiel: $45\,000 = 4.5 \times 10^4$

Umrechner für wissenschaftliche Schreibweise

Eine Wurzel, die sich nicht zu einer ganzen Zahl oder einem Bruch vereinfachen lässt.

Beispiel: $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

So vereinfachst du Wurzeln

Um wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert abweicht: $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$.

Grundlagen der Statistik

Die obere Zahl eines Bruchs: wie viele Teile genommen werden.

Beispiel: In $\frac{3}{8}$ ist der Zähler 3.

Brüche

Geld, das man für einen Kredit zahlt oder fürs Sparen bekommt. Einfache Zinsen sind $I = Prt$; bei Zinseszinsen werden die Zinsen in jeder Periode dem Guthaben zugeschlagen.

Zinsrechner

Eine natürliche Zahl größer als 1, die einen Teiler außer 1 und sich selbst hat.

Beispiel: 12 ist zusammengesetzt: $12 = 2^2 \times 3$.

Rechner für Primfaktorzerlegung