Математичний словник

На скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього: $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$.

Основи статистики

Поєднання чисел, літер (змінних) і дій без знака рівності.

Приклад: $3x^2 - 5x + 2$

Спрощення виразів

Послідовність чисел, у якій щоразу додається одне й те саме число (різниця). $n$-й член дорівнює $a + (n-1)d$.

Приклад: У $3, 7, 11, 15, \ldots$ різниця $d = 4$.

Пряма, до якої графік наближається дедалі ближче, але не досягає її, коли $x$ або $y$ зростає.

Приклад: У $y = \frac{1}{x}$ асимптоти $x = 0$ і $y = 0$.

Раціональні вирази

Величина, що має і довжину (модуль), і напрям.

Приклад: У $\vec{v} = (3, 4)$ довжина $5$.

Калькулятор векторів

Кутова точка, де сходяться лінії або ребра; у параболи — точка повороту.

Приклад: Вершина $y = (x - 2)^2 + 1$ — точка $(2, 1)$.

Число, яке обчислюють за квадратною матрицею. Для $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ він дорівнює $ad - bc$; матриця має обернену, лише якщо він не дорівнює 0.

Як знайти визначник · Калькулятор визначника

Числа, змінні й дії разом, без знака рівності.

Спрощення виразів

Порівняння двох величин, записується $a : b$.

Приклад: 6 хлопців і 4 дівчини: $6 : 4 = 3 : 2$.

Відношення й пропорції · Калькулятор відношень

Гроші, які платять за позику або отримують за заощадження. Прості відсотки: $I = Prt$; складні відсотки додаються до суми кожного періоду.

Калькулятор відсотків за вкладом

Число зі 100. $p\%$ означає $\frac{p}{100}$.

Приклад: $20\%$ від 50 — це $0.2 \times 50 = 10$.

Як обчислювати відсотки · Калькулятор відсотків

Пряма, яка ділить фігуру або графік на дві дзеркальні половини. Для $y = ax^2 + bx + c$ це $x = -\frac{b}{2a}$.

Квадратні рівняння

Послідовність чисел, у якій кожен член — попередній, помножений на одне й те саме число (знаменник). $n$-й член дорівнює $ar^{n-1}$.

Приклад: У $2, 6, 18, 54, \ldots$ знаменник $r = 3$.

Найдовша сторона прямокутного трикутника, навпроти прямого кута.

Теорема Піфагора · Калькулятор теореми Піфагора

Кут, більший за $0^\circ$ і менший за $90^\circ$.

Приклад: Кожен кут рівностороннього трикутника, $60^\circ$, гострий.

Види трикутників

Многочлен рівно з двома членами.

Приклад: $x + 3$ і $2a^2 - 5b$ — двочлени.

Многочлени

Число, записане з комою, де цифри після коми — десяті, соті й так далі.

Приклад: $0.75 = \frac{3}{4}$

Переведення десяткового дробу у звичайний

Для $ax^2 + bx + c = 0$ значення $b^2 - 4ac$. Додатний: два дійсні корені; нуль: один; від’ємний: дійсних коренів немає.

Квадратні рівняння · Розв’язувач квадратних рівнянь

Відрізок через центр круга від одного краю до іншого; удвічі довший за радіус.

Калькулятор круга

Відстань по колу: $C = 2\pi r$, де $r$ — радіус.

Приклад: У круга радіусом 5 см $C = 10\pi \approx 31.4$ см.

Калькулятор круга

Два кути, що в сумі дають $90^\circ$.

Приклад: $35^\circ$ і $55^\circ$ доповнюють один одного до прямого кута.

Частина цілого, записана як одне число над іншим: $\frac{a}{b}$.

Дроби · Калькулятор дробів

Літера, що позначає число, яке може змінюватися або є невідомим.

Приклад: У $y = 2x + 1$ змінні — $x$ і $y$.

Знайти x

Нижнє число дробу: на скільки рівних частин поділено ціле.

Приклад: У $\frac{3}{8}$ знаменник дорівнює 8.

Дроби

Наскільки можлива подія, від 0 (неможлива) до 1 (вірогідна). За рівноможливих результатів це $\frac{\text{favourable}}{\text{total}}$.

Приклад: Випадіння 6 на чесному кубику: $\frac{1}{6}$.

Калькулятор імовірностей

Дія, обернена до похідної, або площа під кривою. $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ при $n \ne -1$.

Калькулятор інтегралів

Число, яке не можна записати як дріб двох цілих чисел; його десятковий запис нескінченний і не повторюється.

Приклад: $\sqrt{2}$ і $\pi$

Квадратні корені

Корінь, який не можна спростити до цілого числа або дробу.

Приклад: $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

Як спрощувати корені

Рівняння виду $ax^2 + bx + c = 0$ при $a \ne 0$. Корені: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

Квадратні рівняння · Розв’язувач квадратних рівнянь

Число, яке при множенні саме на себе дає вихідне. $\sqrt{a}$ позначає невід’ємний корінь.

Приклад: $\sqrt{49} = 7$

Квадратні корені · Калькулятор квадратного кореня

Значення, які ділять упорядковані дані на чотири рівні частини: $Q_1$ (нижній), $Q_2$ (медіана) і $Q_3$ (верхній).

Калькулятор квартилів

Число, на яке множиться змінна в члені.

Приклад: У $7x^2$ коефіцієнт дорівнює 7.

Многочлени

Вибір елементів, коли порядок не важливий: $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$.

Приклад: Вибрати 2 людей із 4: $\binom{4}{2} = 6$ способів.

Калькулятор перестановок і комбінацій

Пара чисел $(x, y)$, що задає положення точки: спочатку по горизонталі, потім по вертикалі.

Калькулятор відстані та середини відрізка

Одна з чотирьох областей, на які осі $x$ і $y$ ділять площину, пронумерованих від I до IV проти годинникової стрілки, починаючи з правої верхньої.

Значення змінної, за якого рівняння правильне; для $f(x) = 0$ — місце, де графік перетинає вісь $x$.

Приклад: Корені $x^2 - 9 = 0$: $x = 3$ і $x = -3$.

Що таке розв’язок у математиці?

У прямокутному трикутнику прилеглий катет, поділений на гіпотенузу: $\cos\theta = \frac{\text{adj}}{\text{hyp}}$.

Основи тригонометрії

Результат множення числа на ціле число.

Приклад: Кратні 6: 6, 12, 18, 24, …

Число, яке, помножене саме на себе тричі, дає вихідне число.

Приклад: $\sqrt[3]{64} = 4$, бо $4^3 = 64$.

Величина повороту між двома променями, що виходять з однієї точки (вершини), вимірюється в градусах або радіанах.

Переведення градусів у радіани

Наскільки круто йде пряма: підйом, поділений на горизонтальний зсув, $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Приклад: Від $(1, 2)$ до $(3, 8)$: $m = \frac{6}{2} = 3$.

Кутовий коефіцієнт і рівняння прямої · Калькулятор кутового коефіцієнта

Інша назва нахилу: наскільки круто йде пряма.

Кутовий коефіцієнт і рівняння прямої

Рівняння, у якому змінна в першому степені. Його графік — пряма.

Приклад: $5x - 2 = 13$ дає $x = 3$.

Розв’язування лінійних рівнянь · Розв’язувач лінійних рівнянь

Показник степеня, до якого треба піднести основу, щоб отримати число: $\log_b a = c$ означає $b^c = a$.

Приклад: $\log_2 8 = 3$, бо $2^3 = 8$.

Калькулятор логарифмів

Прямокутна таблиця чисел, розташованих у рядках і стовпцях.

Калькулятор визначника

Центральне значення впорядкованих даних; за парної кількості — середнє двох центральних значень.

Приклад: Медіана 3, 8, 1, 6 дорівнює $\frac{3 + 6}{2} = 4.5$.

Калькулятор середнього, медіани й моди

Ціле число й правильний дріб, записані разом.

Приклад: $3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$

Дроби

Замкнена плоска фігура з прямими сторонами.

Приклад: Трикутники, чотирикутники й шестикутники — многокутники; круг — ні.

Многокутники й чотирикутники

Вираз із членів із натуральними степенями змінної, які додаються або віднімаються.

Приклад: $2x^3 - x + 7$

Многочлени · Калькулятор многочленів

Усі значення, яких може набувати функція.

Приклад: Множина значень $x^2$: $y \ge 0$.

Функції

Число або вираз, на яке інше ділиться без остачі.

Приклад: Дільники 12: 1, 2, 3, 4, 6 і 12.

Калькулятор дільників

Значення, яке трапляється в наборі даних найчастіше. Їх може бути кілька.

Калькулятор середнього, медіани й моди

Відстань від числа до нуля на числовій прямій, тому модуль ніколи не буває від’ємним. Записується між вертикальними рисками.

Приклад: $|-7| = 7$ і $|7| = 7$.

Калькулятор модуля

Найбільше натуральне число, на яке два або більше чисел діляться без остачі.

Приклад: $\gcd(12, 18) = 6$

Прості множники, НСД і НСК · Калькулятор НСД і НСК

Найменше додатне число, кратне двом або більше числам.

Приклад: $\operatorname{lcm}(4, 6) = 12$

Прості множники, НСД і НСК · Калькулятор НСД і НСК

Число для лічби: 1, 2, 3, … (у деяких підручниках включають 0).

Дріб, у якого чисельник більший за знаменник або дорівнює йому.

Приклад: $\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$

Дроби

Твердження, що одне значення менше ($<$), більше ($>$), не більше ($\le$) або не менше ($\ge$) за інше.

Приклад: $2x - 1 > 5$ дає $x > 3$.

Розв’язування нерівностей · Калькулятор нерівностей

Простір, який займає об’ємна фігура, вимірюється в кубічних одиницях.

Приклад: Циліндр: $V = \pi r^2 h$.

Об’ємні фігури · Калькулятор об’єму

Матриця $A^{-1}$, яка при множенні на $A$ дає одиничну матрицю. Існує лише при $\det A \ne 0$.

Калькулятор оберненої матриці

1, поділена на число; отримується, якщо перевернути дріб.

Приклад: Обернене до $\frac{2}{5}$ число — $\frac{5}{2}$.

Дроби

Усі значення аргументу, яких може набувати функція.

Приклад: Область визначення $\sqrt{x}$: $x \ge 0$.

Функції

Вектор завдовжки 1, який отримують діленням вектора на його довжину.

Калькулятор одиничного вектора

Многочлен з одного члена.

Приклад: $-4x^3y$

У степені $a^n$ число $a$, яке множиться саме на себе. Також нижня сторона фігури, що використовується для площі.

Приклад: У $2^5$ основа дорівнює 2.

Калькулятор степенів

U-подібний графік квадратичної функції $y = ax^2 + bx + c$.

Як побудувати графік рівняння

Прямі, які ніколи не перетинаються. Паралельні прямі мають однаковий кутовий коефіцієнт.

Кутовий коефіцієнт і рівняння прямої

Розташування елементів, коли порядок важливий: $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$.

Приклад: Розставити 2 людей із 4 по порядку: $P(4, 2) = 12$.

Калькулятор перестановок і комбінацій

Загальна довжина межі фігури.

Приклад: У прямокутника 5 на 3 периметр $2(5 + 3) = 16$.

Прямі, що перетинаються під прямим кутом. Добуток їхніх кутових коефіцієнтів дорівнює $-1$ (якщо жодна не вертикальна).

Кутовий коефіцієнт і рівняння прямої

Розмір плоскої поверхні, яку займає фігура, вимірюється у квадратних одиницях.

Приклад: Прямокутник 5 см на 3 см має площу $5 \times 3 = 15\text{ cm}^2$.

Площі основних фігур · Калькулятор площі

Загальна площа всіх граней або кривих поверхонь об’ємної фігури.

Приклад: У куба з ребром 2 площа поверхні $6 \times 2^2 = 24$.

Калькулятор площі поверхні

Доданки з однаковими змінними й степенями, які можна додавати.

Приклад: $3x^2$ і $-5x^2$ — подібні доданки: разом вони дають $-2x^2$.

Спрощення виразів

Фігури з однаковими кутами, у яких усі сторони в одному й тому самому відношенні: одна — збільшена копія іншої.

Маленьке число вгорі у степені: показує, скільки разів основа множиться сама на себе.

Приклад: $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$

Калькулятор степенів

Прийнятий порядок обчислень: дужки, степені, множення й ділення (зліва направо), потім додавання й віднімання (зліва направо). Відомий як BIDMAS, BODMAS або PEMDAS.

Приклад: $2 + 3 \times 4 = 14$, а не 20.

Звичайний калькулятор

Швидкість зміни функції, або нахил її графіка в точці. Для $x^n$ це $nx^{n-1}$.

Приклад: Похідна $x^3$ дорівнює $3x^2$.

Похідні та правило степеня · Калькулятор похідних

Твердження, що два відношення рівні.

Приклад: $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$

Відношення й пропорції

Натуральне число, більше за 1, яке має лише два дільники: 1 і саме себе.

Приклад: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …

Прості множники, НСД і НСК

Кут рівно $90^\circ$, часто позначається маленьким квадратиком.

Одиниця вимірювання кутів: кут, що спирається на дугу завдовжки з радіус. $\pi$ радіан $= 180^\circ$.

Переведення градусів у радіани

Відстань від центра круга до його краю; половина діаметра.

Калькулятор круга

Число, яке можна записати як $\frac{a}{b}$, де $a$ і $b \ne 0$ — цілі.

Приклад: $0.25 = \frac{1}{4}$ і $-3 = \frac{-3}{1}$

Дріб, у якого чисельник і знаменник — многочлени.

Приклад: $\frac{x + 1}{x^2 - 4}$

Раціональні вирази · Калькулятор раціональних виразів

Трикутник із двома рівними сторонами; кути навпроти них теж рівні.

Види трикутників

Трикутник, у якого всі три сторони рівні, а всі три кути дорівнюють $60^\circ$.

Види трикутників

Твердження, що два вирази рівні, поєднані знаком рівності.

Приклад: $2x + 1 = 9$

Рівняння

Рівняння прямої у вигляді $y = mx + b$: кутовий коефіцієнт $m$, пряма перетинає вісь $y$ у точці $b$.

Кутовий коефіцієнт і рівняння прямої

Запис числа у вигляді добутку простих чисел.

Приклад: $60 = 2^2 \times 3 \times 5$

Калькулятор розкладу на прості множники

Записати вираз як добуток простіших виразів.

Приклад: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

Розкладання многочленів на множники · Калькулятор розкладання на множники

Найбільше значення мінус найменше значення в наборі даних.

Приклад: Дані 4, 9, 2, 7: розмах $= 9 - 2 = 7$.

Середні величини та розкид

Точка рівно посередині між двома точками: $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$.

Калькулятор відстані та середини відрізка

Сума значень, поділена на їхню кількість.

Приклад: Середнє 2, 4 і 9 дорівнює $\frac{15}{3} = 5$.

Середні величини та розкид · Калькулятор середнього, медіани й моди

Одне число, яке представляє набір даних. Зазвичай мають на увазі середнє арифметичне, але медіана й мода теж є середніми величинами.

Середні величини та розкид

У прямокутному трикутнику протилежний катет, поділений на гіпотенузу: $\sin\theta = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}}$.

Основи тригонометрії · Тригонометричний калькулятор

Два або більше рівнянь, які мають виконуватися одночасно.

Приклад: $x + y = 5$ і $x - y = 1$ дають $x = 3$, $y = 2$.

Системи рівнянь · Розв’язувач систем рівнянь

Функція, застосована до результату іншої: $f(g(x))$ означає спочатку $g$, потім $f$.

Приклад: Якщо $f(x) = x^2$ і $g(x) = x + 1$, то $f(g(x)) = (x+1)^2$.

Функції

Натуральне число, більше за 1, яке має дільник, крім 1 і самого себе.

Приклад: 12 — складене: $12 = 2^2 \times 3$.

Калькулятор розкладу на прості множники

Спільне число в знаменнику, що дає змогу додавати або порівнювати дроби. Найменший із них — НСК знаменників.

Приклад: $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$

Дроби

Записати вираз коротше й рівносильно: звести подібні, скоротити спільні множники тощо.

Спрощення виразів

Значення, що не змінюється, наприклад окреме число у виразі.

Приклад: У $4x + 9$ вільний член дорівнює 9.

Міра розкиду даних навколо середнього: квадратний корінь із дисперсії.

Калькулятор стандартного відхилення

Запис числа у вигляді $a \times 10^n$, де $1 \le |a| < 10$, а $n$ — ціле.

Приклад: $45\,000 = 4.5 \times 10^4$

Переведення у стандартний вигляд

Найбільший степінь змінної в многочлені.

Приклад: У $4x^3 - x + 1$ степінь 3.

Многочлени

Два кути, що в сумі дають $180^\circ$.

Приклад: $110^\circ$ і $70^\circ$ у сумі дають розгорнутий кут.

У прямокутному трикутнику протилежний катет, поділений на прилеглий: $\tan\theta = \frac{\text{opp}}{\text{adj}}$.

Основи тригонометрії

У прямокутному трикутнику $a^2 + b^2 = c^2$, де $c$ — гіпотенуза.

Приклад: Катети 3 і 4 дають гіпотенузу $\sqrt{9 + 16} = 5$.

Теорема Піфагора · Калькулятор теореми Піфагора

Рівність, правильна за будь-якого значення змінної.

Приклад: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

Калькулятор тригонометричних тотожностей

Місце, де графік перетинає вісь. Пряма $y = mx + c$ перетинає вісь $y$ у точці $c$.

Кутовий коефіцієнт і рівняння прямої

Чотирикутник з однією парою паралельних сторін. Площа $= \frac{1}{2}(a + b)h$.

Площа трапеції

Кут, більший за $90^\circ$ і менший за $180^\circ$.

Добуток усіх натуральних чисел від 1 до $n$, записується $n!$. За означенням $0! = 1$.

Приклад: $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

Калькулятор перестановок і комбінацій

Правило, що кожному значенню аргументу ставить у відповідність рівно одне значення.

Приклад: $f(x) = 2x + 3$ дає $f(4) = 11$.

Функції · Калькулятор функцій

Число без дробової частини: 0, 1, 2, 3, …

Число без дробової частини, яке може бути додатним, від’ємним або нулем.

Приклад: $-3, 0, 12$

Результат ділення.

Приклад: У $20 \div 4 = 5$ частка дорівнює 5.

Верхнє число дробу: скільки частин узято.

Приклад: У $\frac{3}{8}$ чисельник дорівнює 3.

Дроби

Відношення довжини будь-якого кола до його діаметра, близько 3.14159. Це ірраціональне число.

Калькулятор круга

Окрема частина виразу, відділена від інших знаками $+$ або $-$. Також кожне число послідовності.

Приклад: У $4x^2 - 3x + 1$ три члени.

Многокутник із чотирма сторонами. Сума його кутів дорівнює $360^\circ$.

Многокутники й чотирикутники