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微積分のレッスン：微積分の問題の解き方

微積分の問題はたいてい 2 つのうちどちらかを問います：何かがどれだけ速く変化しているか（微分）、またはどれだけたまったか（積分）。このレッスンでは、どちらが必要かの見分け方と、一歩ずつの解き方を学べます。

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    Derivatives and the power rule

    A derivative is the slope of a curve at a point. The power rule lets you differentiate any polynomial in one line.

微分か積分か？

  • 「変化率」「曲線の傾き」「位置から速度」「最大値・最小値」→ 微分する。
  • 「曲線の下の面積」「総量」「速度から位置」→ 積分する。

短い微積分の問題を 2 つ

x=2x = 2 における y=x3−3xy = x^3 - 3x の傾き：導関数は 3x2−33x^2 - 3 なので、傾きは 3(4)−3=93(4) - 3 = 9 です。

0 から 2 までの y=3x2y = 3x^2 の下の面積：∫023x2 dx=[x3]02=8\int_0^2 3x^2\,dx = \left[x^3\right]_0^2 = 8。

微積分の問題の進め方

  1. 与えられたものと求めるものを、単位つきで書き出します。
  2. 決めます：微分か積分か（または両方か）。
  3. まず関数を簡単にします — かっこを外し、根号を累乗の形で書きます。
  4. 公式を使い、それから数を代入します。
  5. 妥当性を確認：答えの符号と大きさはもっともらしいですか？

よくある質問

微積分の問題はどう始める？

変化率（微分）を問うのか、たまった総量（積分）を問うのかを判断し、公式を使う前に関数を簡単にします。

微積分を学ぶ前に知っておくべきことは？

代数 — 特に累乗、かっこ、式の変形 — と関数のグラフです。微積分のミスの多くは、実は代数のミスです。

微分や積分の答えは確かめられる？

はい。求めた積分を微分して元の関数に戻るか確認するか、すべての手順を表示する Sumzo の微分計算機・積分計算機を使いましょう。